سلسلة تمارين محلولة

تمرين 1:

أذكر على الأقل 3 توزيعات احتمالية من الممكن أن يحدث التقارب بينها. وأذكر الشروط اللازمة لحدوث هذا التقارب.

الحل:

  1. توزيع ذي الحدين مع التوزيع الطبيعي: و يستلزم توفر الشرطين التاليين: pq ≥ 5 pq >= 5 و np ≥ 5 np >= 5

  2. توزيع ذي الحديث مع توزيع يواسون: إذا توفر الشرطين n > 20 و np < 5 و nq < 5 n > 20 و np < 5 و nq < 5

  3. قارب التوزيع الطبيعي من التوزيع بواسون: λ > 20 %lambda > 20

التمرين 2:

في تجربة اختبار صلاحية دواء معين في الحد من فيروس كورونا، إذا علمت أن احتمال صلاحيته هو 0.53 وقد تم اختيار عينة عشوائية حجمها 300 شخص مصاب بفيروس كورونا لتجريبه، المطلوب:

1. حدد نوع التوزيع المناسب

2. أحسب احتمال شفاء على الأقل 150 مريض

3. إن أمكن استخدم توزيعات أخرى لحساب احتمال شفاء على الأقل 150 مريض

الحل:

P=0,53; q=0,47; n=30

1- التوزيع المتناسب:

نحن أمام تجرية تحتمل نتيجتين النجاح (الدواء صالح) والفشل (الدواء غير صالح) وهذه التجرية ثم تكرارها 300 مرة اذن نحن أمام تجرية ذي الحدين.

N ( np , npq ) N( np ,npq )
X ∼ b ( 300,0.53 ) X sim b(300,0.53)
p ( X = x ) = C n x p x q n − x p( X=x )= C n csup{x} p^{x} q^{n-x}
p ( X = x ) = c 300 x ( 0.53 ) x ( 0.47 ) 300 − x p( X = x )= c 300 csup{x} ( 0.53)^{x} (0.47)^{300-x}

2- حساب احتمال شفاء 150 مريض على الأقل

p ( X ≥ 150 ) = p ( x = 150 ) + p ( x = 151 ) + p ( x = 152 ) + ... + p ( x = 300 ) p ( X >= 150 ) =p ( x = 150 )+p( x = 151 )+ p( x = 152 )+...+p( x = 300 )

نلاحظ ان حساب الاحتمال صعب وبالتالي نلجأ الى حساب الاحتمال بطرق أخرى.

3- حساب احتمال شفاء 150 مريض على الأقل باستخدام توزيعات أخرى:

باستخدام التوزيع الطبيعي :

  • التحقق من الشرطين: pq ≥ 5 pq >= 5 و np ≥ 5 np >= 5

np =300(0.53)=159

nq=300(0.47)=141

  • الشرطين محققين وبالتالي يمكن استخدام التقريب الطبيعي في حساب الاحتمال المطلوب

σ 2 = npq = 74.73 %sigma ^{2} = npq=74.73

μ=np =159

  • حساب Z المعيارية:

Z = X − μ σ 2 = X − μ 74.73 Z= {X- %mu } over sqrt{ %sigma ^{2}}= {X- %mu } over sqrt{74.73}

  • تصحيح الاستمرارية وحساب الاحتمال المطلوب:

P ( X ≥ 150 ) = p ( X > 149.5 ) = p ( Z > 149 − 159 74.73 ) = p ( Z > − 1.09 ) = 1 − p ( Z ≤ − 1.09 ) = 1 − 0.1378 = 0.8622 P( X >= 150 )=p( X > 149.5 )=p( Z > {149-159} over sqrt{74.73} )=p( Z > -1.09 )=1-p( Z <= -1.09 )=1-0.1378=0.8622

التمرين 4:

يصل زبائن مكاتب بريد الجزائر عشوائيا وبشكل مستقل (لا يؤثر وصول أحدهم على وصول الآخر). فإذا كان معدل الوصول هو 25 شخص في الدقيقة الواحدة.

1. حدد نوع التوزيع الاحتمالي المناسب للمتغير العشوائي X

2. بعد تحديد نوع التوزيع الاحتمالي المناسب، أحسب احتمال وصول 30 أشخاص في دقيقة واحدة.

3. أعد حساب الاحتمال في السؤال 2 باستخدام التقريب الطبيعي إن أمكن.

4. إن أمكن استخدم التقريب الطبيعي في حساب احتمال وصول على الأقل 30 شخص خلال 40 ثانية.

الحل:

1- التوزيع المناسب: هو توزيع بواسون

X ∼ P ( λ ) ; X ∼ P ( 25 ) X sim P ( %lambda ); X sim P(25)

p ( X = x ) = λ x e − λ x ! p ( X=x )= %lambda ^{x} func e^{- %lambda } over { fact {x} }
p ( X = 30 ) = 25 30 e − 25 30 ! = 0.48 p( X=30 )= { 25^{30}} func e^{-25} over { fact {30} }=0.48

2- حساب احتمال وصول 30 شخص في دقيقة واحدة باستخدام التقريب الطبيعي:

  • التحقق من الشرط : λ > 20 %lambda > 20 ; 25=λ ومنه الشرط محقق

25= μ=λ

σ 2 = λ = 25 %sigma ^{2}= %lambda =25

  • حساب Z المعيارية:

Z = X − μ σ 2 = X − 25 25 Z= {X- %mu } over { sqrt{ %sigma ^{2}} } = {X-25} over { sqrt{25} }

  • تصحيح الاستمرارية وحساب الاحتمال المطلوب:

p ( X = 30 ) = ( 29.5 < x < 30.5 ) = p ( 29.5 − 25 25 < 30.5 − 25 25 ) = ϕ ( 1.1 ) − ϕ ( 0.9 ) = 0.0484 p( X=30 )=( 29.5 < x < 30.5 )=p( {29.5-25} over { sqrt{25} } < {30.5-25} over { sqrt{25} } )= %phi ( 1.1 )- %phi ( 0.9 )=0.0484

4-استخدام التقريب الطبيعي في حساب احتمال وصول على الأقل 30 شخص خلال 40 ثانية.

  • نحسب λ الجديدة خلال 40 ثانية

  • التحقق من الشرط: λ > 20 %lambda > 20

λ=16.66

وهي اقل من 20 وبالتالي لا يمكن استخدام التوزيع الطبيعي في حساب الاحتمال المطلوب.