سلسلة تمارين محلولة

التمرين الأول:

اذا كان من المعلوم ان نسبة الشفاء من مرض معين باستخدام دوء معين هي 60 % اذا تناول هذا الدواء 5 مصابين بهذا المرض واذا عرفنا المتغير العشوائي X بانه عدد المصابين الذين يستجيبون لهذا الدواء(حالات الشفاء).

المطلوب:

  • ماهو نوع المتغير العشوائي؟ وماهو قانون التوزيع الاحتمالي له؟

  • أوجد التوزيع الاحتمالي للمتغير X ثم احسب الاحتمالات التالي :

استجابة 3 مرضى لهذا الدواء

استجابة مريض واحد على الاقل

استجابة مريضين على الاقل

  • أحسب الامل الرياضي والانحراف المعياري لعدد حالات الاستجابة

حل التمرين الاول:

  • تحديد نوع المتغير X :

X : متغير عشوائي منفصل كمي يمثل عدد حالات الاستجابة

  • قانون التوزيع الاحتمالي ل X :

بما ان المصاب بعد تناوله للدواء هناك نتيجتين متنافيتين : شفاء/ عدم شفاء فاننا امام تجربة برنولي مكررة 5 مرات أي توزيع ثنائي الحدين، حيث:

n = 5 ; p = 0.6 ; q = 1 − p = 1 − 0.6 = 0.4 n=5; p=0.6; q=1-p=1-0.6=0.4

ونكتب: X = { 0,1,2,3,4,5 } و X ∼ B ( 5,0.6 ) X = lbrace 0,1,2,3,4,5 rbrace و X sim B (5,0.6)

  • ايجاد التوزيع الاحتمالي لهذا التغير:

p ( X = x ) = C n x p x q n − x p( X=x )= C n csup{x} p^{x} q^{n-x}
P ( X = 0 ) = C 0 5 ( 0.6 0 ) ( 0.4 5 ) = 0.01 P( X=0 )=C 0 csub{5} ( 0.6^{0})( 0.4^{5} )=0.01
p ( X = 1 ) = C 5 1 ( 0.6 1 ) ( 0.4 4 ) = 0.0768 p( X=1 )=C 5 csup{1} ( 0.6^{1} )( 0.4^{4} )=0.0768
p ( X = 2 ) = C 5 2 ( 0.6 2 ) ( 0.4 3 ) = 0.2304 p( X=2 )=C 5 csup{2} ( 0.6^{2} )( 0.4^{3} )=0.2304
p ( X = 3 ) = C 5 3 ( 0.6 3 ) ( 0.4 2 ) = 0.3456 p( X=3 )=C 5 csup{3} ( 0.6^{3} )( 0.4^{2} )=0.3456
p ( X = 4 ) = C 5 4 ( 0.6 5 ) ( 0.4 1 ) = 0.2592 p( X=4 )=C 5 csup{4} ( 0.6^{5} )( 0.4^{1} )=0.2592
p ( X = 5 ) = C 5 5 ( 0.6 5 ) ( 0.4 0 ) = 0.07776 p( X=5 )=C 5 csup{5} ( 0.6^{5} )( 0.4^{0} )=0.07776

  • حساب الاحتمالات:

استجابة 3 مرضى:

p ( X = 3 ) = 0.3456 p( X=3 )=0.3456

استجابة مريض واحد على الاقل:

p ( X ≥ 1 ) = 1 − p ( X = 0 ) = 1 − 0.0102 = 0.9897 p( X >= 1 )=1-p( X=0 )=1-0.0102=0.9897

استجابة مريضين على الاقل:

p ( X ≤ 2 ) = 0.0102 + 0.0768 + 0.2304 = 0.31744 p( X <= 2 )=0.0102+0.0768+0.2304=0.31744

حساب الامل الرياضي والانحراف المعياري:

E ( X ) = np = 5 ∗ 0.6 ∗ 0.4 = 1.2 E( X )=np= 5 * 0.6 * 0.4 =1.2
σ x = V ( X ) = 1.095 %sigma _{x}= sqrt{V(X)} =1.095

التمرين الثاني

اذا علم أن المتغير العشوائي X الذي يمثل عدد الوحدات التي تستهلكها اسرة ما من سلعة معينة خلال الشهر يخضع لتوزيع بواسون بمتوسط 3 وحدات شهريا.

المطلوب:

أ. احسب الاحتمالات الاتية:

- احتمال ان تستهلك الاسرة وحدتين خلال الشهر.

احتمال ان تستهلك الاسرة وحدة واحدة على الاقل خلال الشهر

- احتمال ان تستهلك الاسرة 3 وحدات على الاكثر خلال الشهر

ب . حدد معلمة هذا التوزيع واحسب الانحراف المعياري لعدد الوحدات المستهلكة.

حل التمرين الثاني

نعلم أن : X ∼ P ( λ = 3 ) X sim P ( %lambda =3 )

أ. نوع المتغير X هو متغير عشوائي متقطع

ب . كتابة قانونه الاحتمالي:

p ( X = 3 ) = e − λ λ x x ! p( X=3 )= { func e^{- %lambda } %lambda ^{x} } over { fact {x} }

ب . حساب الاحتمالات:

- احتمال ان تستهلك الاسرة وحدتين خلال الشهر

p ( X = 2 ) = e − 3 3 2 2 ! = 0.22 p( X= 2 ) = { func e^{-3} 3^{2} } over { fact {2} } = 0.22

احتمال ان تستهلك الاسرة وحدة واحدة على الاقل خلال الشهر

p ( x ≥ 1 ) = 1 − p ( x < 1 ) = 1 − p ( x = 0 ) = 1 − e − 3 3 0 0 ! = 1 − 0.049 = 0.95 p( x >= 1 )=1- p( x < 1 )=1-p( x=0 ) = 1- { func e^{-3} 3^{0} } over { fact {0} } =1-0.049=0.95

احتمال ان تستهلك الاسرة 3 وحدات على ا لاكثر خلال الشهر

p ( x ⩽ 3 ) = p ( x = 3 ) + p ( x = 2 ) + p ( x = 1 ) + p ( x = 0 ) = 0.64 p( x leslant 3 )=p( x=3)+ p(x=2 )+p( x=1 )+p( x=0 )=0.64

  • تحديد معلمة هدا التوزيع ، وحساب الانحراف المعياري لعدد الوحدات المستهلكة.

من المعطيات معلمة هدا التوزيع هي التوقع الرياضي وتساوي 3

الانحراف المعياري: نعلم ان:

μ = λ = σ 2 = 3 ومنه σ = λ = 3 = 1.73 %imu = %lambda = %sigma ^{2} = 3 ومنه %sigma = sqrt{ %lambda } = sqrt{3} = 1.73

التمرين الثالث:

في تجربة القاء حجر النرد، نرمي الحجر حتى ظهور أحد الأوجه المطلوبة

المطلوب:

ماهو احتمال ظهور الرقم 5 بعد 6 محاولات لالقاء النرد؟

احسب التوقع الرياضي والتباين والانحراف المعياري ؟

الحل:

X: يمثل عدد مرات القاء حجر النرد حتى ظهور أحد الأوجه المطلوبة

احتمال النجاح (ظهور الرقم 5) P=1/6

احتمال الفشل (عدم ظهور الرقم 5) q=1- 1/6 =5/6

ومنه:

X ∼ G ( p ) ; X ∼ G ( 1 6 ) X sim G (p ) ; X sim G( {1} over {6} )

وقانون التوزيع هو:

p ( X = x ) = p ( 1 − p ) x − 1 p( X=x ) =p ( 1-p )^{x-1}

احتمال ظهور الرقم 5 بعد 6 محاولات لالقاء النرد، أي في المحاولة السابعة وبالتالي x=7

p ( x = 7 ) = 1 6 ( 1 − 1 6 ) x − 1 = 0.0558 p( x=7 )= {1} over {6} (1- {1} over {6} ) ^{x-1} =0.0558

حساب التوقع الرياضي والتباين والانحراف المعياري:

التوقع الرياضي:

E ( X ) = 1 p = 6 E(X )= {1} over {p} =6

التباين:

V ( X ) = q p 2 = 5 6 ( 1 6 ) 2 = 30 V( X )= {q} over { p^{2}} = { {5} over {6} } over ( {1} over {6} ) ^{2} = 30

الانحراف المعياري:

σ ( X ) = q p 2 = 5 / 6 ( 1 / 6 ) 2 = 5.48 %sigma ( X )= sqrt{ {q} over { p^{2}} } = sqrt{ {5/6} over { (1/6) ^{2}} } = 5.48

التمرين الرابع:

تحتوي مزهرية على 5 أزهار حمراء و 4 أزهار صفراء، نختار بدون إرجاع 3 أزهار

المطلوب:

الحصول على زهرة واحدة حمراء

الحصول على زهرتين حمراوين

الحصول على 3 زهرات حمراء

أحسب التوقع الرياضي والتباين والانحراف المعياري ؟

الحل:

نلاحظ أن :

النتائج الممكنة تكون ثنائية (كل زهرة مسحوب اما حمراء أو صفراء)

السحب دون ارجاع (أي السحبات غير مستقلة واحتمال النجاح p غير ثابت)

الترتيب غير مهم ومنه X متغير عشوائي يخضع للتوزيع فوق الهندسي أي: X ∼ H ( N , n , p ) X sim H(N,n,p)

حيث:

P ( X = x ) = c x M c n − x N − M c n N P( X=x )= { c binom{x}{M} c binom{n-x}{N-M} } over { c binom{n}{N} }

احتمال الحصول على ولا زهرة حمراء:

p ( X = 0 ) = c 0 5 c 3 4 c 3 9 = 1 3 p( X=0 )= {c binom{0}{5} c binom{3}{4} } over {c binom{3}{9} } = {1} over {3}

احتمال الحصول على زهرة واحدة حمراء:

p ( x = 1 ) = ( 1 5 ) ( 2 4 ) ( 3 9 ) = 5 2 p( x=1 )= { left ( binom{1}{5} right ) left ( binom{2}{4} right ) } over { left ( binom{3}{9} right ) } = {5} over {2}

احتمال الحصول على زهر تين حمراء:

p ( x = 2 ) = ( 2 5 ) ( 1 4 ) ( 3 9 ) = 10 3 p( x=2 ) = { left ( binom{2}{5} right ) left ( binom{1}{4} right ) } over { left ( binom{3}{9} right ) } = {10} over {3}

احتمال الحصول على 3 زهراء حمراء:

p ( x = 3 ) = ( 3 5 ) ( 0 4 ) ( 3 9 ) = 5 6 p( x=3 )= { left ( binom{3}{5} right ) left ( binom{0}{4} right ) } over { left ( binom{3}{9} right ) } = {5} over {6}

حساب التوقع الرياضي والتباين والانحراف المعياري

E ( X ) = np = n ( M N ) = 3 ( 5 9 ) = 5 3 E( X )= np=n ( {M} over {N} ) = 3 ( {5} over {9} ) = {5} over {3}
V ( X ) = npq N − n N − 1 = 3 ( 5 9 ) ( 4 9 ) ( 9 − 3 9 − 1 ) = 360 648 = 5 9 V( X )=npq {N-n} over {N-1} = 3 ( {5} over {9} ) ( {4} over {9} ) ( {9-3} over {9-1} ) = {360} over {648} = {5} over {9}
σ ( X ) = npq N − n N − 1 = 5 9 = 0.74 %sigma ( X )= sqrt{npq} sqrt{ {N-n} over {N-1} } = sqrt{ {5} over {9} } =0.74