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  • عام

  • Chapitre 1: Conditionnement

    Introduction à l'espérance conditionnelle

    L'espérance conditionnelle est un concept fondamental en probabilités et en statistiques. Elle permet de calculer l'espérance d'une variable aléatoire en fonction d'une autre variable aléatoire.

    Supposons que nous ayons deux variables aléatoires X et Y, et que nous voulions calculer l'espérance de X sachant que Y prend une certaine valeur y. L'espérance conditionnelle de X sachant Y = y, notée E(X|Y=y), représente la valeur moyenne attendue de X lorsque Y est égal à y.

    L'espérance conditionnelle est définie comme une fonction de Y, ce qui signifie qu'elle dépend de la valeur prise par Y. Pour chaque valeur de y, l'espérance conditionnelle de X peut être différente.

    L'espérance conditionnelle est souvent utilisée dans divers domaines, tels que l'économie, la finance et les sciences sociales, pour modéliser et prédire le comportement d'une variable aléatoire en tenant compte d'une autre variable.

    Pour calculer l'espérance conditionnelle, on utilise la formule suivante : E(X|Y=y) = ∫x * f(x|y) dx

    où f(x|y) est la fonction de densité de probabilité conditionnelle de X sachant Y = y, et ∫x représente l'intégration par rapport à toutes les valeurs possibles de X.

    En résumé, l'espérance conditionnelle est un outil puissant pour estimer l'espérance d'une variable aléatoire en fonction d'une autre variable aléatoire. Elle permet de prendre en compte l'information disponible sur la valeur d'une variable pour obtenir des estimations plus précises et des prédictions plus fiables.


  • Chapitre 2: Chaînes de Markov à temps discret

    Les chaînes de Markov à temps discret sont des modèles probabilistes utilisés pour modéliser des processus aléatoires où les événements successifs dépendent uniquement de l'état présent et ne dépendent pas des états passés. Elles sont nommées d'après le mathématicien russe Andreï Markov, qui les a introduites.

    Une chaîne de Markov à temps discret est caractérisée par un ensemble fini d'états possibles et une matrice de transition. La matrice de transition indique les probabilités de transition entre les différents états. Chaque élément de la matrice de transition représente la probabilité de passer d'un état à un autre en un seul pas de temps.

    Formellement, soit S = {S_1, S_2, ..., S_n} l'ensemble fini des états possibles. La matrice de transition est une matrice carrée P de taille n x n, où chaque élément P(i, j) représente la probabilité de passer de l'état S_i à l'état S_j en un pas de temps.

    Les chaînes de Markov à temps discret sont caractérisées par la propriété de Markov, qui stipule que la probabilité de transition vers un nouvel état dépend uniquement de l'état présent et non des états passés. Autrement dit, la probabilité de passer à un nouvel état est conditionnée uniquement par l'état actuel.

    Les chaînes de Markov à temps discret peuvent être utilisées pour étudier divers phénomènes, tels que les processus de file d'attente, les processus de décision séquentielle, les modèles épidémiologiques, les prévisions météorologiques, etc. Elles permettent de modéliser des situations où l'évolution future dépend uniquement de l'état présent et non de l'historique complet du processus.

    Les propriétés des chaînes de Markov à temps discret, telles que la distribution stationnaire, l'absorption, la récurrence/transience, peuvent être analysées mathématiquement. Des techniques telles que l'équation d'équilibre de Chapman-Kolmogorov et la marche aléatoire sont utilisées pour étudier et résoudre les problèmes liés aux chaînes de Markov à temps discret.


  • Séries de Travaux Dirigés (TD)

  • Bibliographie

  • Chapitre 3: Martingales

    En théorie des probabilités, les martingales sont des processus stochastiques qui jouent un rôle important dans l'étude du hasard et du mouvement aléatoire. Les martingales sont souvent utilisées pour modéliser des phénomènes où l'information disponible à un moment donné est suffisante pour prédire l'avenir, dans un sens probabiliste.

    Une martingale est une séquence de variables aléatoires indexées par le temps (généralement discret) qui satisfait une propriété spécifique. Formellement, soit (X_n) une séquence de variables aléatoires et (F_n) une filtration (représentant l'information disponible jusqu'au temps n). La séquence (X_n) est une martingale par rapport à la filtration (F_n) si, pour tout n, l'espérance conditionnelle de X_{n+1} sachant F_n est égale à X_n.

    En d'autres termes, une martingale est un processus aléatoire pour lequel, à chaque instant donné, l'espérance de la prochaine valeur conditionnelle sur l'information passée est égale à la valeur actuelle.

    Les martingales ont de nombreuses applications, notamment en finance, en théorie des jeux, en statistique, en traitement du signal, etc. Elles permettent de modéliser des phénomènes aléatoires où les gains ou les pertes futurs dépendent uniquement de l'information disponible à un moment donné, sans dépendance à l'égard des événements passés.

    Les propriétés des martingales, telles que la propriété de martingale d'arrêt ou la convergence des martingales, sont étudiées en détail dans la théorie des probabilités. Les martingales offrent également un cadre mathématique utile pour analyser les processus stochastiques et comprendre les phénomènes aléatoires complexes.

    En résumé, les martingales sont des processus aléatoires qui suivent une propriété de prévision sans biais, où l'information disponible à un moment donné permet d'estimer de manière optimale les valeurs futures. Elles sont un outil essentiel pour modéliser et analyser des phénomènes aléatoires dans divers domaines de l'étude du hasard.